Hakikat Matematika

Matekadu.com on

Minggu, 22 September 2019

PEMBAHASAN

A.  Hakikat

     Dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia KBBI, Hakikat memiliki dua definisi, yaitu:

1)   Intisari atau dasar.

Contoh: dia yg menanamkan “hakikat” ajaran Islam di hatiku;

2)   Kenyataan yg sebenarnya (sesungguhnya)

Contoh: pada “hakikat”nya mereka orang baik-baik;

     Kata hakikat (Haqiqat)  merupakan kata benda yang berasal dari Bahasa Arab yaitu dari kata “Al-Haqq”, dalam Bahasa Indonesia menjadi kata pokok yaitu kata “hak“ yang berarti milik (ke¬punyaan), kebenaran, atau yang benar-¬benar ada, sedangkan secara etimologi Hakikat berarti inti sesuatu, puncak atau sumber dari segala sesuatu.

Dapat disimpulkan bahwa Hakikat adalah kalimat atau ungkapan yang digunakan untuk menunjukkan makna yang yang sebenarnya atau makna yang paling dasar dari sesuatu seperti benda, kondisi atau pemikiran, Akan tetapi ada beberapa yang menjadi ungkapan yang sudah sering digunakan dalam kondisi tertentu, sehingga menjadi semacam konvensi, hakikat seperti disebut sebagai hakikat secara adat kebiasaan.

B.  Matematika

     Kata matematika berasal dari perkataan Latin mathematika yang mulanya diambil dari perkataan Yunani mathematike yang berarti mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge, science). Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar). Matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari hasil eksperimen atau hasil observasi matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia, yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran (Russeffendi ET, 1980 :148).

      Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atua notasi matematika yang bernilai global (universal). Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena itu logika adalah dasar terbentuknya matematika.

     Pada awalnya cabang matematika yang ditemukan adalah Aritmatika atau Berhitung, Aljabar, Geometri setelah itu ditemukan Kalkulus, Statistika, Topologi, Aljabar Abstrak, Aljabar Linear, Himpunan, Geometri Linier, Analisis Vektor, dll.

      Berbagai pendapat muncul tentang pengertian matematika, dipandang dari pengetahuan dan pengalaman masing-masing yang berbeda. Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya. Sedangkan karakteristik matematika dapat dipahami melalui hakekat matematika.

     Beberapa Definisi Para Ahli Mengenai Matematika antara lain:

1)      Russefendi (1988 : 23) Matematika terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, dan dalil-dalil di mana dalil-dalil setelah dibuktikan kebenarannya berlaku secara umum, karena itulah matematika sering disebut ilmu deduktif.

2)      James dan James (1976). Matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan lainnya. Matematika terbagi dalam tiga bagian besar yaitu aljabar, analisis dan geometri. Tetapi ada pendapat yang mengatakan bahwa matematika terbagi menjadi empat bagian yaitu aritmatika, aljabar, geometris dan analisis dengan aritmatika mencakup teori bilangan dan statistika.

3)      Johnson dan Rising dalam Russefendi (1972) Matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan,pembuktian yang logis, matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai ide daripada mengenai bunyi. Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasi, sifat-sifat dalam teori-teori dibuat secara deduktif berdasarkan kepada unsur yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teori yang telah dibuktikan kebenarannya adalah ilmu tentang keteraturan pola atau ide, dan matematika itu adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya.

4)      Reys - dkk (1984) Matematika adalah telaahan tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat.

5)      Kline (1973) Matematika itu bukan pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam

6)      Hudoyo (1979) mengemukakan bahwa hakikat matematika berkenan dengan ide-ide, struktur- struktur dan hubungan-hubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak. Selanjutnya dikemukakan bahwa apabila matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka simbol-simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang beroperasi di dalam struktur-struktur. Menurut

7)      Soedjadi (2000) berpendapat bahwa simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga dapat diberi arti sesuai dengan lingkup semestanya. Agar simbol itu berarti maka kita harus memahami ide yang terkandung di dalam simbol tersebut. Karena itu, hal terpenting adalah bahwa ide harus dipahami sebelum ide itu sendiri disimbolkan. Misalnya simbol (x, y) merupakan pasangan simbol “x” dan “y” yang masih kosong dari arti. Apabila konsep tersebut dipakai dalam geometri analitik bidang, dapat diartikan sebagai kordinat titik, contohnya A(1,2), B(6,9), titik A (1,2) titik A terletak pada perpotongan garis X = 1 dan y = 2 titik B(6,9) artinya titik B terletak pada perpotongan garis X = 6 dan y = 9. Hubungan-hubungan dengan simbol-simbol dan kemudian mengaplikasikan konsep-konsep yang dihasilkan kesituasi yang nyata

C.  Hakikat Matematika

     Adapun  Prof. H.E.T. Ruseffendi dalam bukunya mengenai hakikat matematika, bahwa memahami hakikat matematika dapat diketahui  melalui kegunaannya dalam membawakan pembelajaran matematika sebagai berikut.

1.    Matematika Adalah Ilmu Deduktif

     Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, karena proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain. Metode pencarian kebenaran yang dipakai adalah metode deduktif, tidak dapat dengan cara induktif. Pada ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif dan eksperimen. Walaupun dalam matematika mencari kebenaran itu dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi seterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus dapat dibuktikan dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil itu dapat diterima kebenarannya sesudah dibuktikan secara deduktif.

     Contoh dalam ilmu fisika, bila seorang melakukan percobaan (eksperimen) sebatang logam dipanaskan maka memuai dan dilanjutkan dengan logam-logam yang lainnya, dipanaskan ternyata memuai juga, maka ia dapat membuat kesimpulan (generalisasi) bahwa setiap logam yang dipanaskan itu dapat memuai. Generalisasi yang dibuat secara induktif tersebut dalam ilmu fisika dapat dibenarkan contoh dalam ilmu fisika di atas, pada matematika contoh-contoh seperti itu baru dianggap sebagai generalisasi jika kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.

     Berikut adalah beberapa contoh pembuktian dalil atau generalisasi pada matematika. Dalil atau generalisasi berikut dibenarkan dalam matematika karena sudah dapat dibuktikan secara deduktif.

Contoh 1

Bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil adalah bilangan genap. Misalnya kita ambil beberapa buah bilangan ganjil, baik ganjil positif, atau ganjil negatif yaitu 1, 3, -5, 7.

+	1         3       -5       7
1 3 -5 7	2         4       -4       8 4         6       -2      10 -4       -2      -10     2 6        10       2      14

Dari tabel di atas, terlihat bahwa untuk setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalu genap. Dalam matematika hasil di atas belum dianggap sebagai suatu generalisasi,walaupun anak membuat contoh-contoh dengan bilangan yang lebih banyak lagi. Pembuktian denganc ara induktif ini harus dibuktikan lagi dengan cara deduktif.

Pembuktian secara deduktif sebagai berikut:

Misalkan : a dan b adalah sembarang bilangan bulat, maka 2a bilangan genap dan 2b bilangan genap genap, maka 2a +1 bilangna ganjil dan 2b + 1 bilangan ganjil.

Jika dijumlahkan:

(2a + 1) + (2b + 1)         =

2a + 2b + 2                    =

2 (a + b + 1)                   =

Karena a dan b bilangan bulat maka (a + b + 1) juga bilangan bulat, sehingga 2 (a + b +1) adalah bilangan genap.

Jadi bilangan ganjil + bilangan ganjil = bilangan genap (generalisasi)

Contoh 2

Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 1800. Misalnya siswa mengukur ketiga sudut sebuah segititga dengan busur derajat dan menjumlahkan ketiga sudut tersebut, ternyata hasilnya sama dengan 1800. Walaupun proses pengukuran dan penjumlahan ketiga sudut ini diberlakukan kepada segitiga-segitiga yang lain dan hasilnya selalu sama dengan 180°, tetap kita tidak dapat menyimpulkan bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dnegan 180°, sebelum membuktikan secara deduktif.

Pembuktian secara deduktif sebagai berikut:

                                         

Garis a // garis b, dipotong oleh garis c dan garis d, maka terbentuk ∠1 , ∠2 , ∠3 , ∠4 , ∠5.

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°    (membentuk sudut lurus)

∠1 = ∠4                                     (sudut-sudut bersebrangan dalam)

∠3 = ∠5                                     (sudut-sudut bersebrangan dalam)

Maka : ∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°

Karena ∠4 + ∠2 + ∠5 merupakan jumlah dari ketiga buah sudut pada sebuah segitiga, maka dapat disimpulkan bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 180°. Kesimpulan yang didapat dengan cara deduktif ini barulah dapat dikatakan dalil atau generalisasi.

     Dalil-dalil dan rumus matematika itu ditentukan secara induktif (eksperimen), tetapi begitu suatu dalil ditemukan maka generalisasi itu harus dibuktikan kebenarannya secara deduktif.

     Pada pembelajaran matematika di SD pembuktian dengan cara deduktif masih sulit dilaksanakan. Karena itu siswa SD hanya melakukan eksperimen (metode induktif). Percobaan-percobaan inipun masih menggunakan benda-benda konkrit (nyata). Untuk pembuktian deduktif masih sulit dilaksanakan karena pembuktian deduktif lebih abstrak dan menuntut siswa mempunyai pengetahuan-pengetahuan siswa yang sebelumnya. Contoh : Pada pembuktian bilangan ganjil ditambah ganjil sama dengan bilangan genap siswa harus sudah mengerti bilangan ganjil, genap, bulat dan dapat menyelesaikan dalam bentuk umum bilangan-bilangan tersebut.

2.    Matematika adalah Bahasa Simbol

     Matematika yang terdiri dari simbol-simbol yang sangat padat arti dan bersifat internasional. Padat arti berarti simbol-simbol matematika ditulis dengan cara singkat tetapi mempunyai arti yang luas.

Misal:

 = 3 , 3 + 5 = 8,

3! = 1 x 2 x 3

 , cos, tan, sin, →, ↔, ∪, ∩, ⊂, ⊃, =, >, < , ~, ∨, ∧

     Bila seseorang, siapa pun dan bangsa apa pun, sudah belajar matematika akan mengerti arti dari x² - 4x + 3 = 0. Dan akan memberi jawaban 1 dan 3. Di sini juga jelas bahwa pernyataan “Akar-akar adalah 1 dan 3” adalah pernyataan benar.

     Kita tinggalkan mengenai matematika sebagai bahasa dan kita lanjutkan dengan karakteristiknya dibandingkan dengan bahasa lain terutama dengan bahasa sehari-hari. Perhatikan contoh-contoh berikut.

     Pertama, dalam matematika bila kita diminta untuk menulis bilangan dari satu sampai suatu bilangan, satu juta misalnya, menulisnya itu tidak seperti dalam tulisan sehari-hari yaitu menulis: satu, dua, tiga, dan seterusnya sampai satu juta, tetapi sebagai berikut: 1, 2, 3, ..., 10⁶. Dengan contoh itu jelas bila dengan bahasa biasa menulis bilangan dari satu sampai satu juta itu bisa memerlukan beribu lembar kertas, dengan bahasa matematika memerlukan tempat satu baris pun tidak. Jadi, bahasa matematika itu sangat hemat atau ekonomis.

     Kedua, seperti contoh di atas bila seseorang diminta untuk mengalikan bilangan dari satu sampai seribu, dalam bahasa sehari-hari orang akan menulisnya: satu kali dua kali tiga dan seterusnya sampai seribu. Karena itu akan memerlukan kertas berlembar-lembar. Tetapi dengan matematika tulisan itu adalah 1x2x3x...x 1000. Dan bila ditulis dengan notasi faktorial adalah 1000! Jadi tulisan dalam matematika itu selain hemat atau ekonomis, juga singkat atau padat.

     Ketiga, bahasa matematika itu tidak mendua arti apalagi membanyak arti. Maksudnya bahasa matematika itu tidak ambigius. Perhatikan contoh berikut. Berapakah 5+5? Jawabannya 10 bukan? Tidak ada yang lain. Contoh lain. Apakah 0 bilangan bulat? Jawabannya tentu ya, bukan? Ada yang jawabannya berbeda tetapi hasilnya sama. Misalnya, bilangan asli apa kali bilangan asli apa sama dengan 10? Jawabannya adalah  1x10, 2x5, 10x1, dan 5x2. Tidak ada yang lain. Contoh terakhir. Berapakah 2+3x5? Jawabannya adalah 17 bukan 25, sebab 3x5 itu sama dengan (5+5+5) =15.

     Berbeda dengan bidang lain. Sebuah kata itu bisa bermakna ganda atau banyak. Contoh. Mari ke sini cantik. Arti cantik di situ bisa memang yang dipanggil itu cantik, tetapi bisa juga sekedar basa-basi agar yang dipanggil itu merasa nyaman. Contoh lain arti demokrasi. Amerika Serikat, Inggris, Indonesia, dan RRC semua akan mengatakan negaranya itu demokrasi. Tetapi kenyataan di lapangan demokrasi yang satu dengan yang lain, berbeda.

3.    Matematika sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu

     Bila seseorang ingin bertemu dengan ratu, ia harus datang menemuinya.  Kiranya tidak ada ratu yang datang untuk bertemu orang yang memerlukannya, atau bersama datang ke suatu tempat di luar daerah kekuasaannya. Siapa pun bila ingin bertemu dengan ratu, ia harus datang untuk menghadap. Barangkali kata ratu,”Bila Anda memerlukan aku, datanglah”. Tentu saja yang akan diterima oleh ratu itu harus yang memenuhi syarat, misalnya seorang pejabat, mengetahui tata tertibnya, dan berpakaian secara sopan, bukan.

     Begitu pula matematika. Melihat hakikat matematika, matematika itu seperti ratu. Matematika itu anggun, cantik, indah, dan semacamnya. Dan sesuai dengan hakikatnya, matematika itu mandiri dan diperlukan oleh manusia. Tentu saja yang diperlukan oleh manusia itu sesuai dengan tingkat kemampuan matematika dari yang memerlukan, bukan.

     Kemandirian dan diperlukannya oleh manusia sebagai sifat matematika, itu serupa dengan yang dimiliki oleh seorang ratu. Seperti sudah disampaikan, karena keturunan ia dipilih sebagai ratu dan setelah menjadi ratu ia diperlukan manusia. Karena kekhasannya, matematika diperlukan manusia.

     Jadi, bila seseorang mulai dari orang awam sampai kepada ilmuwan/ matematikawan memerlukan matematika, ia harus datang ke matematika lalu menggunakannya. Maksudnya, tidak mungkin matematika yang datang untuk menemui yang memerlukan. Jadi itulah perilaku matematika seperti perilaku seorang ratu. Bila seseorang itu memerlukan, ia harus mendatanginya.

     Kita lanjutkan melihat matematika sebagai pelayan ilmu. Sebagian orang berpendapat bahwa matematika itu bukan suatu ilmu, sebab dikembangkannya tidak ilmiah; misalnya, pengembangannya tidak seperti pengembangan IPA.

     Matematika, menjadi pelayannya itu bukan hanya menjadi pelayan ilmu, untuk yang lainnya pun menjadi pelayan: pelayan bagi manusia awam yang berjual beli di pasar misalnya, pelayan bagi bidang studi lain, dan pelayan bagi para ilmuwan. Bila jaman dulu yang dilayani itu terbatas kepada ilmu-ilmu eksakta seperti Fisika, Kimia, dan Biologi, sekarang ilmu-ilmu sosial pun mau dilayani. Apalagi dalam penelitian, hampir setiap bidang studi dan ilmu memerlukan bantuan.

     Layanan yang diberikan oleh matematika kepada manusia bukan seperti manusia memberikan layanan kepada manusia lain, tetapi ada syaratnya. Syaratnya itu adalah orang yang akan memperoleh layanan itu harus memiliki kemampuan sesuai dengan yang dimintanya. Bila tidak akan sia-sia saja. Sebagai contoh, andaikan seseorang memerlukan senjata karena ada harimau yang berkeliaran di kampungnya. Kemudian ia dikasih bedil, tetapi andaikan ia tidak bisa menggunakannya. Akan sia-sia bukan. Contoh dalam matematika, misalnya ia ingin mengetahui luas lapangan yang berbentuk lingkaran. Ia memerlukan matematika. Matematika yang akan digunakannya adalah integral. Tetapi yang akan menghitung luas itu tidak memahami bagaimana cara menggunakan integral. Tentunya usaha orang itu akan sia-sia bukan.

     Kita lihat lebih lanjut arti ratu dan pelayan ilmu, nama-nama julukan bagi matematika tetapi dilihat dari pandangan yang lebih objektif.

     Bila kita perhatikan, sewaktu ratu menerima pengunjung, pada dasarnya ratu itu melayani tamu, bukan. Bedanya ialah yang berkunjung itu yang menghadap, sedangkan yang menerima adalah yang berkuasa. Tetapi pada julukan kedua pun bahwa matematika itu pelayan ilmu, pada dasarnya sama dengan julukan pertama yaitu matematika sebagai ratunya ilmu. Sama-samanya itu ialah ratu dan pelayan itu sama-sama berkuasa dan yang menghadap dan dilayani itu sama-sama pada posisi yang lebih rendah. Tetapi posisi yang dilayani pun lebih rendah daripada posisi yang melayani. Sebab untuk bisa dilayaninya, yang dilayani itu harus menguasai matematika tertentu, tetapi matematikanya sendiri adalah segala-galanya.

Jadi, julukan itu pada dasarnya sama. Hanya, perbedaannya, kata “ratu” mengenakkan sedangkan kata “pelayan” tidak.

4.    Matematika sebagai Seni

     Seni adalah sesuatu yang indah. Pengembangnya sering karena yang bersangkutan memiliki bakat untuk itu. Sebagai penyanyi yang baik sering bakat nyanyinya itu dimiliki sejak kecil. Begitu pula seorang pelukis. Bila kita belajar bidang-bidang seperti itu, kita sukar untuk bisa apalagi ahli. Perhatikan saja menyanyi. Seseorang yang tidak mempunyai bakat dalam menyanyi, ia tetap tidak akan bisa menyanyi dengan baik walaupun ia terus-menerus belajar dengan prakteknya. Sekarang kita lihat apa sebabnya matematika bisa disebut seni, di mana letak indahnya.

     Pertama kita lihat benda-benda mainan anak-anak kecil. Mainan-mainan itu ada yang berbentuk lingkaran, segitiga, persegi, persegi panjang, bola, kubus, balok, silinder, kerucut, dan lain-lain. Anak-anak banyak yang menyukainya, apalagi bila berwarna-warni. Semua bentuk-bentuk itu baik bentuk bidang maupun bentuk ruang adalah bentuk-bentuk benda matematika yang indah.

     Kedua, perhatikan bangunan rumah, gedung perkantoran, mesjid, dan lain-lain beserta asesorisnya. Bangunan itu ada yang berbentuk kubus, berbentuk balok, berbentuk limas, berbentuk bola bagi kubah mesjid, dan berbentuk silinder. Kadang-kadang sebuah bangunan itu bertingkat terdiri dari silinder-silinder yang makin ke atas semakin kecil seperti bangunan di Washington DC; indah.

     Begitu pula asesorisnya berbentuk benda-benda geometri seperti persegi, persegi panjang, dan lingkaran. Selain jendela dan pintu itu misalnya berbentuk persegi panjang, bentuknya pun simetris; kesimetrisan pun merupakan konsep matematika yang banyak dibahas. Manusia memilih bentuk-bentuk itu tentunya karena bentuk-bentuk itu enak dipandang mata; indah.

     Selanjutnya kita lihat dalam ruangan yang bentuknya geometris. Lemari, bufet, kulkas, meja, pintu, dan sebagainya, bentuk bendanya matematis. Termasuk cermin, berbentuk persegi panjang atau lingkaran. Pot-potnya pun berbentuk simetris. Semuanya indah.

     Kita lihat yang dipakainya, kebanyakan simetris seperti baju, celana atau rok, sepatu, sandal, dan lain-lain. Tidak ada baju atau celana yang sebelah pendek dan yang sebelah lagi panjang. Begitu pula tidak ada warna sepatu berbeda warna, yang sebelah warna hitam dan yang sebelah lagi warna coklat misalnya. Bahkan Tuhan menciptakan makhluk hidup pada umumnya simetris. Letak mata, hidung, telinga, tangan, kaki, dan badan itu simetris terhadap sumbu simetrinya. Tuhan pun tampaknya suka kepada keindahan. Bahkan ciptaan-Nya bila membuat sesuatu itu suka yang bentuknya simetris, seperti ibu-ibu membuat kue yang berbentuk silinder; bertahap atau tidak. Para ahlinya membuat becak, andong, sepeda, mobil, truk, dan pesawat udara bentuknya simetris terhadap sumbu tertentu. Semuanya itu manusia buat demi keindahan.

     Itu beberapa bentuk benda-benda matematika dan kesimetrisannya. Yang karena bentuk-bentuknya seperti itu dibuat satu sama lain simetris, semuanya menjadi indah. Semuanya itu ada dalam matematika. Jadi matematika itu suatu seni karena ada keindahannya.

     Contoh berikut. Kita dapat mencari koefisien (a+b)ⁿ untuk bilangan asli tertentu. Untuk dapat menemukan caranya perhatikan koefisien (a+b), (a+b)², (a+b)³, dan (a+b)⁴.

Koefisien dari:

(a+b) => 1 dan 1

(a+b)² = a² + 2ab + b² => 1, 2, dan 1.

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ => 1, 3, 3, dan 1.

(a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² +4ab³ +b⁴ => 1, 4, 6, 4, dan 1.

Kita urutkan koefisien setiap perpangkatan itu sebagai berikut.

                                  

                   

     Perhatikan bilangan-bilangan itu sesuai dengan barisnya. Bilangan 2 diperoleh dari baris yang di atasnya yaitu 1+1. Bilangan 3 diperoleh dari yang di atasnya yaitu 1+2 atau 2+1. Kemudian 4 didapat dari yang di atasnya yaitu dari 1+3 atau 3+1. Terakhir, 6 diperoleh dari yang di atasnya yaitu dari 3+3, begitu pun seterusnya.

     Dengan demikian bila kita ingin mengetahui besarnya koefisien-koefisien untuk bilangan asli tertentu, 7 misalnya. Jadi, koefisien dari itu adalah 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, dan 1. Tentunya kita bisa menjawab bila ditanya misalnya “21 itu koefisien dari pangkat a berapa dan pangkat b berapa?” Selain itu dengan cara matematik yang lebih praktis pun ada, tetapi di sini tidak dibicarakan. Segitiga dengan urutan seperti itu disebut segitiga Pascal.

     Yang lainnya ialah yang menyebabkan matematika itu termasuk yang indah ialah dari pembuktian. Misalnya pembuktian yang sudah dibicarakan bahwa jumlah sudut-sudut pada sebuah segitiga itu 180  dan jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.

     Pada kedua bukti itu, bila menggunakan cara biasa, sampai kiamat pun tidak akan selesai. Tetapi dengan menggunakan cara matematika, keduanya dapat diselesaikan hanya dengan beberapa baris saja. Dengan cara yang tepat, akurat, dan singkat, orang-orang menjadi kagum atas cara-cara pembuktian dalam matematika. Dengan demikian matematika itu indah.

5.    Matematika sebagai Aktivitas Manusia

     Julukan kepada matematika bahwa matematika itu sebagai aktivitas manusia adalah benar, sebab hampir setiap manusia terlibat dalam matematika. Manusia awam terlibat dalam jual beli, di pasar misalnya. Siswa dan mahasiswa terlibat dalam pelajaran atau kuliah. Sebagian orang dalam bidang studi lain menggunakan matematika. Begitu pula dalam perdagangan dan pengembangan ilmu, orang menggunakannya. Matematika sebagai aktivitas manusia ini adalah bagian akhir dari modul hakikat matematika.

     Perhatikan kegiatan manusia dalam keluarga, ibu rumah tangga dengan penjaja barang yang datang ke rumah, orang yang membuat pakaian, kegiatan di warung, kegiatan di pasar, dan di kegiatan sehari-hari lainnya. Mereka menggunakan matematika. Matematikanya matematika yang paling sederhana, yaitu Berhitung (Arithmetic). Bila kita tidak memiliki kemampuan dalam berhitung, ada kemungkinan kita akan merugi. Walaupun sekarang-sekarang ini ada kalkulator dan kita dapat menggunakannya, pengetahuan berhitung itu tetap diperlukan seperti untuk memiliki arti dari bilangan dan estimasi. Bila kalkulator menunjukkan hasil, kita harus bisa membedakan antara 1000, 100, 10, 0,10, 0,01, dan 0,001 misalnya. Begitu pula bila kita menjumlahkan beberapa harga barang, kita perlu memahami estimasinya; perkiraan jumlahnya.

     Selain itu orang-orang di ladang menghitung luas sawah dan ladangnya yang bentuknya tidak beraturan. Di ladang dan sawahnya mereka menghitung hasilnya seperti padi, ubi-ubian, sayuran, ternak, dan ikan. Mereka menghitung banyak hasilnya dan sebagian atau seluruhnya dijual. Jadi di sini pun mereka menggunakan matematika dalam kegiatannya (manusia).

     Dalam kegiatan sehari-hari, kadang-kadang simbol matematika itu tidak sesuai dengan yang dimaksud dengan operasi hitung dalam aritmetika seperti 2x3 pada suatu resep dokter. Itu maksudnya bukan 6, tetapi 2 kali yang seharinya masing-masing 3 tablet. Lalu pada sepatu ada tulisan, misalnya 40. Itu artinya ukuran sepatu itu 40. Yang demikian itu manusia ketahui dan dapat membedakan dari operasi yang berlaku dalam matematika.

     Kemudian kita lihat di sekolah dan perguruan tinggi. Mereka terlibat dalam matematika baik sebagai ilmu maupun dalam penerapannya. Sebab, untuk sebagian dari siswa atau mahasiswa, matematika adalah bidang studi yang ditekuni, pengetahuan dan kemampuan prasyarat, dan karena akan berguna dalam penerapannya. Jadi manusia sebagai pelajar di tingkat dasar, menengah, dan tinggi pun terlibat dalam matematika. Tentunya manusia yang tidak menjadi pelajar lagi pun banyak yang masih terlibat dalam matematika seperti pegawai kantor, guru, peneliti, pembuat rencana dan program, dan sebagainya.

     Kita lanjutkan keterlibatan manusia dalam matematika di bidang lain, transportasi misalnya. Supir angkot menghitung setiap kali menerima bayaran dari penumpang. Setelah selesai bekerja, ia menghitung jumlahnya. Kemudian ia menghitung uang masuknya setelah dikurangi pengeluaran pembelian bensin. Sisa atau pendapatan bersihnya ada yang harus dibagi-bagi: untuk yang punya kendaraan, kernetnya, dan dia sendiri.

     Demikian pula para penjual karcis kereta api dan pesawat udara. Selain mereka menghitung harga karcis kelas ekonomi dan kelas eksekutif, juga mereka harus menghitung khusus bagi pembeli karcis untuk seorang manula. Di pesawat udara, barang bawaannya harus dihitung, baik punya perorangan maupun keseluruhan. Keseluruhannya harus dihitung beratnya agar tidak melebihi kapasitas pesawat. Bawaan perorangan pun harus dihitung; berat bawaannya yang lebih dari aturan, tentunya harus dihitung, berapa yang bersangkutan harus membayar.

     Pada pemilihan bupati, gubernur, atau presiden, panitia harus mengetahui banyak orang yang mempunyai hak untuk memilih, karena itu harus mendata. Sewaktu pemilihan, panitia harus mencatat siapa yang datang maupun yang tidak termasuk persentasenya. Apalagi setelah selesai orang memberikan suara, panitia itu akan sibuk menghitung banyak suara bagi setiap calon (kontestan).

     Belum lagi matematika untuk perhitungan di tingkat tinggi seperti mendirikan gedung bertingkat dan membuat jalan layang. Itu semuanya di luar jangkauan manusia biasa. Apalagi perhitungan yang menyangkut teknologi tinggi seperti dalam membuat pesawat udara dan pesawat ruang angkasa.

     Kesimpulannya, matematika itu dipakai oleh manusia di semua tingkat sehingga dapat dikatakan bahwa matematika itu aktivitas manusia.

D.  Kegunaan Matematika

1.    Matematika sebagai pelayan ilmu yang lain.

     Banyak ilmu-ilmu yang penemuan dan pengembangannya bergantung dari matematika.

Contoh:

·      Penemuan dan pengembangan Teori Mendel dalam Biologi melalui konsep Probabilitas.

·      Perhitungan dengan bilangan imajiner digunakan untuk memecahkan masalah tentang kelistrikan.

·      Dengan matematika, Einstein membuat rumus yang dapat digunakan untuk menaksir jumlah energi yang dapat diperoleh dari ledakan atom.

·      Dalam ilmu pendidikan dan psikologi, khususnya dalam teori belajar, selain digunakan statistik juga digunakan persamaan matematis untuk menyajikan teori atau model dari penelitian.

·      Dalam ilmu kependudukan, matematika digunakan untuk memprediksi jumlah penduduk dll.

·      Dalam seni grafis, konsep transformasi geometric digunakan untuk melukis mosaik.

·      Dalam seni musik, barisan bilangan digunakan untuk merancang alat musik.

·      Banyak teori-teori dari Fisika dan Kimia (modern) yang ditemukan dan dikembangkan melalui konsep Kalkulus.

·      Teori Ekonomi mengenai Permintaan dan Penawaran dikembangkan melalui konsep Fungsi Kalkulus tentang Diferensial dan Integral.

2.    Matematika digunakan manusia untuk memecahkan masalahnya dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh:  ~  Memecahkan persoalan dunia nyata

~ Mengadakan transaksi jual beli, maka manusia memerlukan proses perhitungan matematika yang berkaitan dengan bilangan dan operasi hitungnya

~  Menghitung luas daerah

~ Menghitung jarak yang ditempuh dari suatu tempat ke tempat yang lain

~ Menghitung laju kecepatan kendaraan

~  Membentuk pola pikir menjadi pola pikir matematis, orang yang   

    mempelajarinya kritis, sistimatis dan logis.

~ Menggunakan perhitungan matematika baik dalam pertanian,

   perikanan, perdagangan, dan perindustrian.