A. Hakikat
Dalam Kamus Besar Bahasa
Indonesia KBBI, Hakikat memiliki dua definisi, yaitu:
1)
Intisari atau dasar.
Contoh: dia yg menanamkan “hakikat” ajaran Islam di
hatiku;
2)
Kenyataan yg sebenarnya
(sesungguhnya)
Contoh: pada “hakikat”nya mereka orang baik-baik;
Kata hakikat (Haqiqat)
merupakan kata benda yang berasal dari Bahasa Arab yaitu dari kata “Al-Haqq”, dalam Bahasa Indonesia menjadi
kata pokok yaitu kata “hak“ yang berarti milik (ke¬punyaan), kebenaran, atau
yang benar-¬benar ada, sedangkan secara etimologi Hakikat berarti inti sesuatu,
puncak atau sumber dari segala sesuatu.
Dapat disimpulkan bahwa Hakikat adalah kalimat atau ungkapan yang digunakan
untuk menunjukkan makna yang yang sebenarnya atau makna yang paling dasar dari
sesuatu seperti benda, kondisi atau pemikiran, Akan tetapi ada beberapa yang
menjadi ungkapan yang sudah sering digunakan dalam kondisi tertentu, sehingga menjadi
semacam konvensi, hakikat seperti disebut sebagai hakikat secara adat
kebiasaan.
B.
Matematika
Kata matematika
berasal dari perkataan Latin mathematika yang mulanya diambil dari perkataan
Yunani mathematike yang berarti
mempelajari. Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge, science).
Kata mathematike berhubungan pula
dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein
atau mathenein yang artinya belajar
(berpikir). Jadi,
berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan
yang didapat dengan berpikir (bernalar). Matematika lebih menekankan kegiatan
dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari hasil eksperimen atau
hasil observasi matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia, yang
berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran (Russeffendi ET, 1980 :148).
Matematika
terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris. Kemudian
pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan
penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep
matematika supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami
oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa
matematika atua notasi matematika yang bernilai global (universal). Konsep
matematika didapat karena proses berpikir, karena itu logika adalah dasar
terbentuknya matematika.
Pada
awalnya cabang matematika yang ditemukan adalah Aritmatika atau Berhitung,
Aljabar, Geometri setelah itu ditemukan Kalkulus, Statistika, Topologi, Aljabar
Abstrak, Aljabar Linear, Himpunan, Geometri Linier, Analisis Vektor, dll.
Berbagai
pendapat muncul tentang pengertian matematika, dipandang dari pengetahuan dan
pengalaman masing-masing yang berbeda. Pendefinisian matematika sampai saat ini
belum ada kesepakatan yang bulat, namun demikian dapat dikenal melalui
karakteristiknya. Sedangkan karakteristik matematika dapat dipahami melalui
hakekat matematika.
Beberapa
Definisi Para Ahli Mengenai Matematika antara lain:
1)
Russefendi (1988 : 23)
Matematika terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan,
definisi-definisi, aksioma-aksioma, dan dalil-dalil di mana dalil-dalil setelah
dibuktikan kebenarannya berlaku secara umum, karena itulah matematika sering
disebut ilmu deduktif.
2)
James dan James (1976).
Matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk, susunan, besaran, dan
konsep-konsep yang berhubungan satu dengan lainnya. Matematika terbagi dalam
tiga bagian besar yaitu aljabar, analisis dan geometri. Tetapi ada pendapat
yang mengatakan bahwa matematika terbagi menjadi empat bagian yaitu aritmatika,
aljabar, geometris dan analisis dengan aritmatika mencakup teori bilangan dan
statistika.
3)
Johnson dan Rising
dalam Russefendi (1972) Matematika adalah pola berpikir, pola
mengorganisasikan,pembuktian yang logis, matematika itu adalah bahasa yang
menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas dan akurat
representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbol mengenai
ide daripada mengenai bunyi. Matematika adalah pengetahuan struktur yang
terorganisasi, sifat-sifat dalam teori-teori dibuat secara deduktif berdasarkan
kepada unsur yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teori yang telah
dibuktikan kebenarannya adalah ilmu tentang keteraturan pola atau ide, dan
matematika itu adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan
keharmonisannya.
4)
Reys - dkk (1984)
Matematika adalah telaahan tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola
berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat.
5)
Kline (1973) Matematika
itu bukan pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri,
tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan
menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam
6)
Hudoyo (1979) mengemukakan
bahwa hakikat matematika berkenan dengan ide-ide, struktur- struktur dan
hubungan-hubungannya yang diatur menurut urutan yang logis. Jadi matematika
berkenaan dengan konsep-konsep yang abstrak. Selanjutnya dikemukakan bahwa
apabila matematika dipandang sebagai struktur dari hubungan-hubungan maka
simbol-simbol formal diperlukan untuk membantu memanipulasi aturan-aturan yang
beroperasi di dalam struktur-struktur. Menurut
7)
Soedjadi (2000) berpendapat
bahwa simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga
dapat diberi arti sesuai dengan lingkup semestanya. Agar simbol itu berarti
maka kita harus memahami ide yang terkandung di dalam simbol tersebut. Karena
itu, hal terpenting adalah bahwa ide harus dipahami sebelum ide itu sendiri
disimbolkan. Misalnya simbol (x, y) merupakan pasangan simbol “x” dan “y” yang
masih kosong dari arti. Apabila konsep tersebut dipakai dalam geometri analitik
bidang, dapat diartikan sebagai kordinat titik, contohnya A(1,2), B(6,9), titik
A (1,2) titik A terletak pada perpotongan garis X = 1 dan y = 2 titik B(6,9)
artinya titik B terletak pada perpotongan garis X = 6 dan y = 9.
Hubungan-hubungan dengan simbol-simbol dan kemudian mengaplikasikan
konsep-konsep yang dihasilkan kesituasi yang nyata
C. Hakikat Matematika
Adapun
Prof. H.E.T. Ruseffendi dalam bukunya mengenai hakikat matematika, bahwa
memahami hakikat matematika dapat diketahui
melalui kegunaannya dalam membawakan pembelajaran matematika sebagai
berikut.
1. Matematika Adalah Ilmu
Deduktif
Matematika
dikenal sebagai ilmu deduktif, karena proses mencari kebenaran (generalisasi)
dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang
lain. Metode pencarian kebenaran yang dipakai adalah metode deduktif, tidak
dapat dengan cara induktif. Pada ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif
dan eksperimen. Walaupun dalam matematika mencari kebenaran itu dapat dimulai
dengan cara induktif, tetapi seterusnya generalisasi yang benar untuk semua
keadaan harus dapat dibuktikan dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu
generalisasi dari sifat, teori atau dalil itu dapat diterima kebenarannya
sesudah dibuktikan secara deduktif.
Contoh dalam
ilmu fisika, bila seorang melakukan percobaan (eksperimen) sebatang logam
dipanaskan maka memuai dan dilanjutkan dengan logam-logam yang lainnya,
dipanaskan ternyata memuai juga, maka ia dapat membuat kesimpulan
(generalisasi) bahwa setiap logam yang dipanaskan itu dapat memuai.
Generalisasi yang dibuat secara induktif tersebut dalam ilmu fisika dapat
dibenarkan contoh dalam ilmu fisika di atas, pada matematika contoh-contoh
seperti itu baru dianggap sebagai generalisasi jika kebenarannya dapat
dibuktikan secara deduktif.
Berikut adalah
beberapa contoh pembuktian dalil atau generalisasi pada matematika. Dalil atau
generalisasi berikut dibenarkan dalam matematika karena sudah dapat dibuktikan
secara deduktif.
Contoh
1
Bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil
adalah bilangan genap. Misalnya kita ambil beberapa buah bilangan ganjil, baik
ganjil positif, atau ganjil negatif yaitu 1, 3, -5, 7.
+
|
1 3 -5 7
|
1
3
-5
7
|
2 4 -4 8
4 6 -2
10
-4 -2 -10
2
6 10 2
14
|
Dari
tabel di atas, terlihat bahwa untuk setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan
hasilnya selalu genap. Dalam matematika hasil di atas belum dianggap sebagai
suatu generalisasi,walaupun anak membuat contoh-contoh dengan bilangan yang
lebih banyak lagi. Pembuktian denganc ara induktif ini harus dibuktikan lagi
dengan cara deduktif.
Pembuktian
secara deduktif sebagai berikut:
Misalkan
: a dan b adalah sembarang bilangan bulat, maka 2a bilangan genap dan 2b
bilangan genap genap, maka 2a +1 bilangna ganjil dan 2b + 1 bilangan ganjil.
Jika
dijumlahkan:
(2a
+ 1) + (2b + 1) =
2a
+ 2b + 2 =
2
(a + b + 1) =
Karena
a dan b bilangan bulat maka (a + b + 1) juga bilangan bulat, sehingga 2 (a + b
+1) adalah bilangan genap.
Jadi
bilangan ganjil + bilangan ganjil = bilangan genap (generalisasi)
Contoh 2
Jumlah
ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 1800. Misalnya siswa mengukur
ketiga sudut sebuah segititga dengan busur derajat dan menjumlahkan ketiga
sudut tersebut, ternyata hasilnya sama dengan 1800. Walaupun proses pengukuran
dan penjumlahan ketiga sudut ini diberlakukan kepada segitiga-segitiga yang
lain dan hasilnya selalu sama dengan 180°, tetap kita tidak dapat menyimpulkan
bahwa jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dnegan 180°, sebelum
membuktikan secara deduktif.
Pembuktian
secara deduktif sebagai berikut:
Garis
a // garis b, dipotong oleh garis c dan garis d, maka terbentuk ∠1
, ∠2
, ∠3
, ∠4
, ∠5.
∠1
+ ∠2
+ ∠3
= 180° (membentuk
sudut lurus)
∠1
= ∠4
(sudut-sudut
bersebrangan dalam)
∠3
= ∠5
(sudut-sudut
bersebrangan dalam)
Maka
: ∠1
+ ∠2
+ ∠3
= ∠4
+ ∠2
+ ∠5
= 180°
Karena
∠4
+ ∠2
+ ∠5
merupakan jumlah
dari ketiga buah sudut pada sebuah segitiga, maka dapat disimpulkan bahwa
jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 180°. Kesimpulan yang didapat
dengan cara deduktif ini barulah dapat dikatakan dalil atau generalisasi.
Dalil-dalil
dan rumus matematika itu ditentukan secara induktif (eksperimen), tetapi begitu
suatu dalil ditemukan maka generalisasi itu harus dibuktikan kebenarannya
secara deduktif.
Pada
pembelajaran matematika di SD pembuktian dengan cara deduktif masih sulit
dilaksanakan. Karena itu siswa SD hanya melakukan eksperimen (metode induktif).
Percobaan-percobaan inipun masih menggunakan benda-benda konkrit (nyata). Untuk
pembuktian deduktif masih sulit dilaksanakan karena pembuktian deduktif lebih
abstrak dan menuntut siswa mempunyai
pengetahuan-pengetahuan siswa yang sebelumnya. Contoh : Pada pembuktian
bilangan ganjil ditambah ganjil sama dengan bilangan genap siswa harus sudah
mengerti bilangan ganjil, genap, bulat dan dapat menyelesaikan dalam bentuk
umum bilangan-bilangan tersebut.
2.
Matematika
adalah Bahasa Simbol
Matematika yang
terdiri dari simbol-simbol yang sangat padat arti dan bersifat internasional.
Padat arti berarti simbol-simbol matematika ditulis dengan cara singkat tetapi
mempunyai arti yang luas.
Misal:
= 3 , 3 + 5 = 8,
3! = 1 x 2 x 3
, cos, tan,
sin, →, ↔, ∪,
∩, ⊂,
⊃,
=, >, < , ~, ∨,
∧
Bila seseorang, siapa pun dan
bangsa apa pun, sudah belajar matematika akan mengerti arti dari x2
- 4x + 3 = 0. Dan akan memberi jawaban 1 dan 3. Di sini juga jelas bahwa
pernyataan “Akar-akar adalah 1 dan 3” adalah pernyataan benar.
Kita tinggalkan mengenai matematika
sebagai bahasa dan kita lanjutkan dengan karakteristiknya dibandingkan dengan
bahasa lain terutama dengan bahasa sehari-hari. Perhatikan contoh-contoh
berikut.
Pertama, dalam matematika bila
kita diminta untuk menulis bilangan dari satu sampai suatu bilangan, satu
juta misalnya, menulisnya itu tidak seperti dalam tulisan sehari-hari
yaitu menulis: satu, dua, tiga, dan seterusnya sampai satu
juta, tetapi sebagai berikut: 1, 2, 3, ..., 106. Dengan contoh itu
jelas bila dengan bahasa biasa menulis bilangan dari satu sampai satu juta itu
bisa memerlukan beribu lembar kertas, dengan bahasa matematika
memerlukan tempat satu baris pun tidak. Jadi, bahasa matematika itu
sangat hemat atau ekonomis.
Kedua, seperti contoh di atas
bila seseorang diminta untuk mengalikan bilangan dari satu sampai seribu, dalam
bahasa sehari-hari orang akan menulisnya: satu kali dua kali tiga dan
seterusnya sampai seribu. Karena itu akan memerlukan kertas berlembar-lembar.
Tetapi dengan matematika tulisan itu adalah 1x2x3x...x 1000. Dan bila ditulis
dengan notasi faktorial adalah 1000! Jadi tulisan dalam matematika itu selain
hemat atau ekonomis, juga singkat atau padat.
Ketiga,
bahasa matematika itu tidak mendua arti
apalagi membanyak arti. Maksudnya bahasa matematika itu tidak ambigius.
Perhatikan contoh berikut. Berapakah
5+5? Jawabannya 10 bukan? Tidak ada yang lain. Contoh
lain. Apakah 0 bilangan bulat? Jawabannya tentu ya, bukan? Ada yang
jawabannya berbeda tetapi hasilnya sama. Misalnya, bilangan asli apa
kali bilangan asli apa sama dengan 10? Jawabannya adalah 1x10,
2x5, 10x1, dan 5x2. Tidak ada yang lain. Contoh
terakhir. Berapakah 2+3x5?
Jawabannya adalah 17 bukan 25, sebab 3x5
itu sama dengan (5+5+5)
=15.
Berbeda
dengan bidang lain. Sebuah kata itu bisa bermakna ganda atau banyak. Contoh.
Mari ke sini cantik. Arti cantik di situ bisa memang yang dipanggil itu cantik,
tetapi bisa juga sekedar basa-basi agar yang dipanggil itu merasa nyaman.
Contoh lain arti demokrasi. Amerika Serikat, Inggris, Indonesia,
dan RRC semua akan mengatakan negaranya itu demokrasi. Tetapi kenyataan di
lapangan demokrasi yang satu dengan yang lain, berbeda.
3.
Matematika
sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu
Bila seseorang
ingin bertemu dengan ratu, ia harus datang menemuinya. Kiranya tidak ada ratu yang
datang untuk bertemu orang yang memerlukannya, atau bersama datang ke
suatu tempat di luar daerah kekuasaannya. Siapa pun bila ingin bertemu dengan
ratu, ia harus datang untuk menghadap. Barangkali kata ratu,”Bila
Anda memerlukan aku, datanglah”. Tentu saja yang akan diterima oleh ratu
itu harus yang memenuhi syarat, misalnya seorang pejabat, mengetahui
tata tertibnya, dan berpakaian secara sopan, bukan.
Begitu pula
matematika. Melihat hakikat matematika, matematika itu seperti ratu.
Matematika itu anggun, cantik, indah, dan semacamnya. Dan
sesuai dengan hakikatnya, matematika itu mandiri dan diperlukan oleh
manusia. Tentu saja yang diperlukan oleh manusia itu sesuai dengan tingkat
kemampuan matematika dari yang memerlukan, bukan.
Kemandirian dan
diperlukannya oleh manusia sebagai sifat matematika, itu serupa dengan
yang dimiliki oleh seorang ratu. Seperti sudah disampaikan, karena
keturunan ia dipilih sebagai ratu dan setelah menjadi ratu ia diperlukan
manusia. Karena kekhasannya, matematika diperlukan manusia.
Jadi, bila
seseorang mulai dari orang awam sampai kepada ilmuwan/ matematikawan memerlukan
matematika, ia harus datang ke matematika lalu menggunakannya. Maksudnya,
tidak mungkin matematika yang datang untuk menemui yang
memerlukan. Jadi itulah perilaku matematika seperti perilaku seorang ratu. Bila
seseorang itu memerlukan, ia harus mendatanginya.
Kita lanjutkan
melihat matematika sebagai pelayan ilmu. Sebagian orang berpendapat bahwa
matematika itu bukan suatu ilmu, sebab dikembangkannya tidak ilmiah;
misalnya, pengembangannya tidak seperti pengembangan IPA.
Matematika, menjadi
pelayannya itu bukan hanya menjadi pelayan ilmu, untuk yang lainnya pun
menjadi pelayan: pelayan bagi manusia awam yang berjual beli di pasar misalnya,
pelayan bagi bidang studi lain, dan pelayan bagi para ilmuwan. Bila
jaman dulu yang dilayani itu terbatas kepada ilmu-ilmu eksakta seperti Fisika,
Kimia, dan Biologi, sekarang ilmu-ilmu sosial pun mau
dilayani. Apalagi dalam penelitian, hampir setiap bidang studi dan ilmu
memerlukan bantuan.
Layanan yang
diberikan oleh matematika kepada manusia bukan seperti manusia memberikan
layanan kepada manusia lain, tetapi ada syaratnya. Syaratnya itu adalah
orang yang akan memperoleh layanan itu harus memiliki kemampuan sesuai dengan
yang dimintanya. Bila tidak akan sia-sia saja. Sebagai contoh, andaikan
seseorang memerlukan senjata karena ada harimau yang berkeliaran di kampungnya.
Kemudian ia dikasih bedil, tetapi andaikan ia tidak bisa menggunakannya.
Akan sia-sia bukan. Contoh dalam matematika, misalnya ia ingin
mengetahui luas lapangan yang berbentuk lingkaran. Ia memerlukan matematika.
Matematika yang akan digunakannya adalah integral. Tetapi yang akan menghitung
luas itu tidak memahami bagaimana cara menggunakan integral. Tentunya usaha
orang itu akan sia-sia bukan.
Kita lihat lebih
lanjut arti ratu dan pelayan ilmu, nama-nama julukan bagi matematika
tetapi dilihat dari pandangan yang lebih objektif.
Bila kita
perhatikan, sewaktu ratu menerima pengunjung, pada dasarnya ratu
itu melayani tamu, bukan. Bedanya ialah yang berkunjung itu yang
menghadap, sedangkan yang menerima adalah yang berkuasa. Tetapi pada
julukan kedua pun bahwa matematika itu pelayan ilmu, pada dasarnya sama
dengan julukan pertama yaitu matematika sebagai ratunya ilmu. Sama-samanya itu
ialah ratu dan pelayan itu sama-sama berkuasa dan yang menghadap dan dilayani
itu sama-sama pada posisi yang lebih rendah. Tetapi posisi yang dilayani pun
lebih rendah daripada posisi yang melayani. Sebab untuk bisa dilayaninya, yang
dilayani itu harus menguasai matematika tertentu, tetapi matematikanya
sendiri adalah segala-galanya.
Jadi, julukan itu pada dasarnya
sama. Hanya, perbedaannya, kata “ratu” mengenakkan sedangkan kata
“pelayan” tidak.
4.
Matematika
sebagai Seni
Seni adalah
sesuatu yang indah. Pengembangnya sering karena yang bersangkutan memiliki
bakat untuk itu. Sebagai penyanyi yang baik sering bakat nyanyinya itu dimiliki
sejak kecil. Begitu pula seorang pelukis. Bila kita belajar bidang-bidang
seperti itu, kita sukar untuk bisa apalagi ahli. Perhatikan saja
menyanyi. Seseorang yang tidak mempunyai bakat dalam menyanyi, ia tetap
tidak akan bisa menyanyi dengan baik walaupun ia terus-menerus belajar dengan
prakteknya. Sekarang kita lihat apa sebabnya matematika bisa disebut seni, di
mana letak indahnya.
Pertama kita
lihat benda-benda mainan anak-anak kecil. Mainan-mainan itu ada yang berbentuk
lingkaran, segitiga, persegi, persegi panjang, bola,
kubus, balok, silinder, kerucut, dan lain-lain.
Anak-anak banyak yang menyukainya, apalagi bila berwarna-warni. Semua
bentuk-bentuk itu baik bentuk bidang maupun bentuk ruang adalah bentuk-bentuk
benda matematika yang indah.
Kedua, perhatikan
bangunan rumah, gedung perkantoran, mesjid, dan lain-lain
beserta asesorisnya. Bangunan itu ada yang berbentuk kubus, berbentuk
balok, berbentuk limas, berbentuk bola bagi kubah mesjid, dan
berbentuk silinder. Kadang-kadang sebuah bangunan itu bertingkat terdiri dari
silinder-silinder yang makin ke atas semakin kecil seperti bangunan di
Washington DC; indah.
Begitu pula
asesorisnya berbentuk benda-benda geometri seperti persegi, persegi
panjang, dan lingkaran. Selain jendela dan pintu itu misalnya berbentuk
persegi panjang, bentuknya pun simetris; kesimetrisan pun merupakan
konsep matematika yang banyak dibahas. Manusia memilih bentuk-bentuk itu
tentunya karena bentuk-bentuk itu enak dipandang mata; indah.
Selanjutnya kita
lihat dalam ruangan yang bentuknya geometris. Lemari, bufet, kulkas,
meja, pintu, dan sebagainya, bentuk bendanya
matematis. Termasuk cermin, berbentuk persegi panjang atau lingkaran.
Pot-potnya pun berbentuk simetris. Semuanya indah.
Kita lihat yang
dipakainya, kebanyakan simetris seperti baju, celana atau rok,
sepatu, sandal, dan lain-lain. Tidak ada baju atau celana
yang sebelah pendek dan yang sebelah lagi panjang. Begitu pula tidak ada warna
sepatu berbeda
warna, yang sebelah warna hitam dan yang sebelah lagi warna coklat
misalnya. Bahkan Tuhan menciptakan makhluk hidup pada umumnya simetris. Letak
mata, hidung, telinga, tangan, kaki, dan
badan itu simetris terhadap sumbu simetrinya. Tuhan pun tampaknya suka kepada
keindahan. Bahkan ciptaan-Nya bila membuat sesuatu itu suka yang bentuknya
simetris, seperti ibu-ibu membuat kue yang berbentuk silinder; bertahap
atau tidak. Para ahlinya membuat becak, andong, sepeda, mobil,
truk, dan pesawat udara bentuknya simetris terhadap sumbu tertentu.
Semuanya itu manusia buat demi keindahan.
Itu beberapa
bentuk benda-benda matematika dan kesimetrisannya. Yang karena bentuk-bentuknya
seperti itu dibuat satu sama lain simetris, semuanya menjadi indah.
Semuanya itu ada dalam matematika. Jadi matematika itu suatu seni karena ada
keindahannya.
Contoh berikut.
Kita dapat mencari koefisien (a+b)n
untuk bilangan asli tertentu. Untuk dapat menemukan caranya perhatikan
koefisien (a+b), (a+b)2, (a+b)3,
dan (a+b)4.
Koefisien dari:
(a+b) => 1 dan 1
(a+b)2 = a2
+ 2ab + b2 => 1, 2, dan 1.
(a+b)3 = a3
+ 3a2b + 3ab2 + b3 => 1, 3, 3, dan 1.
(a+b)4 = a4
+ 4a3b + 6a2b2 +4ab3 +b4
=> 1, 4, 6, 4, dan 1.
Kita urutkan koefisien setiap
perpangkatan itu sebagai berikut.
Perhatikan bilangan-bilangan itu sesuai dengan barisnya. Bilangan 2
diperoleh dari baris yang di atasnya yaitu 1+1. Bilangan 3 diperoleh dari yang
di atasnya yaitu 1+2 atau 2+1. Kemudian 4 didapat dari yang di atasnya yaitu
dari 1+3 atau 3+1. Terakhir, 6 diperoleh dari yang di atasnya yaitu dari
3+3, begitu pun seterusnya.
Dengan demikian bila kita ingin mengetahui besarnya koefisien-koefisien
untuk bilangan asli tertentu, 7 misalnya. Jadi, koefisien dari
itu adalah 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7,
dan 1. Tentunya kita bisa menjawab bila ditanya misalnya “21 itu koefisien
dari pangkat a berapa dan pangkat b berapa?” Selain itu dengan cara matematik
yang lebih praktis pun ada, tetapi di sini tidak dibicarakan. Segitiga
dengan urutan seperti itu disebut segitiga Pascal.
Yang
lainnya ialah yang menyebabkan matematika itu termasuk yang indah ialah dari
pembuktian. Misalnya pembuktian yang sudah dibicarakan bahwa jumlah sudut-sudut
pada sebuah segitiga itu 180
dan jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan
genap.
Pada kedua bukti itu, bila menggunakan cara biasa, sampai
kiamat pun tidak akan selesai. Tetapi dengan menggunakan cara matematika, keduanya
dapat diselesaikan hanya dengan beberapa baris saja. Dengan cara yang tepat,
akurat, dan singkat, orang-orang menjadi kagum atas cara-cara
pembuktian dalam matematika. Dengan demikian matematika itu indah.
5.
Matematika
sebagai Aktivitas Manusia
Julukan kepada matematika bahwa matematika itu sebagai aktivitas manusia
adalah benar, sebab hampir
setiap manusia terlibat dalam matematika. Manusia awam terlibat dalam jual beli, di pasar misalnya. Siswa dan
mahasiswa terlibat dalam pelajaran atau kuliah. Sebagian orang dalam bidang
studi lain menggunakan matematika. Begitu pula dalam perdagangan dan
pengembangan ilmu, orang
menggunakannya. Matematika sebagai aktivitas manusia ini adalah bagian akhir
dari modul hakikat matematika.
Perhatikan kegiatan manusia dalam keluarga, ibu rumah tangga dengan penjaja barang yang datang ke rumah, orang yang membuat pakaian, kegiatan di warung, kegiatan di pasar, dan di kegiatan sehari-hari lainnya.
Mereka menggunakan matematika. Matematikanya matematika yang paling sederhana,
yaitu Berhitung (Arithmetic). Bila kita tidak memiliki kemampuan dalam
berhitung, ada kemungkinan kita
akan merugi. Walaupun sekarang-sekarang ini ada kalkulator dan kita dapat
menggunakannya, pengetahuan
berhitung itu tetap diperlukan seperti untuk memiliki arti dari bilangan dan
estimasi. Bila kalkulator menunjukkan hasil, kita harus bisa membedakan antara 1000, 100, 10, 0,10, 0,01, dan 0,001
misalnya. Begitu pula bila kita menjumlahkan beberapa harga barang, kita perlu memahami estimasinya;
perkiraan jumlahnya.
Selain itu orang-orang di ladang menghitung luas sawah dan ladangnya
yang bentuknya tidak beraturan. Di ladang dan sawahnya mereka menghitung
hasilnya seperti padi, ubi-ubian, sayuran, ternak, dan ikan.
Mereka menghitung banyak hasilnya dan sebagian atau seluruhnya dijual. Jadi di
sini pun mereka menggunakan matematika dalam kegiatannya (manusia).
Dalam kegiatan sehari-hari, kadang-kadang
simbol matematika itu tidak sesuai dengan yang dimaksud dengan operasi hitung
dalam aritmetika seperti 2x3 pada suatu resep dokter. Itu maksudnya bukan 6, tetapi 2 kali yang seharinya
masing-masing 3 tablet. Lalu pada sepatu ada tulisan, misalnya 40. Itu artinya ukuran sepatu itu 40. Yang demikian itu
manusia ketahui dan dapat membedakan dari operasi yang berlaku dalam
matematika.
Kemudian kita lihat di sekolah dan perguruan tinggi. Mereka terlibat
dalam matematika baik sebagai ilmu maupun dalam penerapannya. Sebab, untuk sebagian dari siswa atau
mahasiswa, matematika adalah
bidang studi yang ditekuni, pengetahuan
dan kemampuan prasyarat, dan
karena akan berguna dalam penerapannya. Jadi manusia sebagai pelajar di tingkat
dasar, menengah, dan tinggi pun terlibat dalam matematika.
Tentunya manusia yang tidak menjadi pelajar lagi pun banyak yang masih terlibat
dalam matematika seperti pegawai kantor,
guru, peneliti, pembuat rencana dan program, dan sebagainya.
Kita lanjutkan keterlibatan manusia dalam matematika di bidang lain, transportasi misalnya. Supir angkot
menghitung setiap kali menerima bayaran dari penumpang. Setelah selesai bekerja, ia menghitung jumlahnya. Kemudian ia
menghitung uang masuknya setelah dikurangi pengeluaran pembelian bensin. Sisa
atau pendapatan bersihnya ada yang harus dibagi-bagi: untuk yang punya
kendaraan, kernetnya, dan dia sendiri.
Demikian pula para penjual karcis kereta api dan pesawat udara. Selain
mereka menghitung harga karcis kelas ekonomi dan kelas eksekutif, juga mereka harus menghitung khusus
bagi pembeli karcis untuk seorang manula. Di pesawat udara, barang bawaannya harus dihitung,
baik punya perorangan maupun keseluruhan. Keseluruhannya harus dihitung
beratnya agar tidak melebihi kapasitas pesawat. Bawaan perorangan pun harus
dihitung; berat bawaannya yang lebih dari aturan, tentunya harus dihitung,
berapa yang bersangkutan harus membayar.
Pada pemilihan bupati, gubernur, atau presiden, panitia harus mengetahui banyak orang yang mempunyai hak untuk
memilih, karena itu harus
mendata. Sewaktu pemilihan, panitia
harus mencatat siapa yang datang maupun yang tidak termasuk persentasenya.
Apalagi setelah selesai orang memberikan suara, panitia itu akan sibuk menghitung banyak suara bagi setiap calon
(kontestan).
Belum lagi matematika untuk perhitungan di tingkat tinggi seperti
mendirikan gedung bertingkat dan membuat jalan layang. Itu semuanya di luar
jangkauan manusia biasa. Apalagi perhitungan yang menyangkut teknologi tinggi
seperti dalam membuat pesawat udara dan pesawat ruang angkasa.
Kesimpulannya, matematika
itu dipakai oleh manusia di semua tingkat sehingga dapat dikatakan bahwa
matematika itu aktivitas manusia.
D.
Kegunaan Matematika
1.
Matematika sebagai
pelayan ilmu yang lain.
Banyak ilmu-ilmu
yang penemuan dan pengembangannya bergantung dari matematika.
Contoh:
·
Penemuan dan
pengembangan Teori Mendel dalam Biologi melalui konsep Probabilitas.
·
Perhitungan dengan
bilangan imajiner digunakan untuk memecahkan masalah tentang kelistrikan.
·
Dengan matematika,
Einstein membuat rumus yang dapat digunakan untuk menaksir jumlah energi yang
dapat diperoleh dari ledakan atom.
·
Dalam ilmu pendidikan
dan psikologi, khususnya dalam teori belajar, selain digunakan statistik juga
digunakan persamaan matematis untuk menyajikan teori atau model dari penelitian.
·
Dalam ilmu
kependudukan, matematika digunakan untuk memprediksi jumlah penduduk dll.
·
Dalam seni grafis,
konsep transformasi geometric digunakan untuk melukis mosaik.
·
Dalam seni musik, barisan
bilangan digunakan untuk merancang alat musik.
·
Banyak teori-teori dari
Fisika dan Kimia (modern) yang ditemukan dan dikembangkan melalui konsep
Kalkulus.
·
Teori Ekonomi mengenai
Permintaan dan Penawaran dikembangkan melalui konsep Fungsi Kalkulus tentang
Diferensial dan Integral.
2.
Matematika digunakan
manusia untuk memecahkan masalahnya dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh: ~ Memecahkan persoalan dunia nyata
~ Mengadakan
transaksi jual beli, maka manusia memerlukan proses perhitungan matematika yang
berkaitan dengan bilangan dan operasi hitungnya
~ Menghitung
luas daerah
~ Menghitung
jarak yang ditempuh dari suatu tempat ke tempat yang lain
~ Menghitung laju
kecepatan kendaraan
~ Membentuk pola pikir menjadi pola pikir
matematis, orang yang
mempelajarinya
kritis, sistimatis dan logis.
~ Menggunakan
perhitungan matematika baik dalam pertanian,
perikanan,
perdagangan, dan perindustrian.
